Dans le domaine de l'évaluation des options et de la gestion d'options, la volatilité revêt une importance particulière. Elle est, en effet, devenue un instrument incontournable de la gestion dans les marchés financiers.
Le modèle de Black & Scholes qui remonte à 1973, année de création du C.B.O.E reste, malgré ses hypothèses simplificatrices, très utilisé par les opérateurs sur les marchés. La volatilité implicite mise en évidence par Latane & Rendleman en 1976 à partir de ce modèle est utilisée comme prédicateur de la volatilité future sur les marchés d'options. Dans les années quatre vingt, on assiste à la naissance de modèles ayant pour caractéristique essentielle de décrire les moments d'ordre deux de la distribution des rendements. Ces modèles discrets, mis en évidence par Engle en 1982 sous le nom de processus ARCH ou GARCH (« generalized ARCH »), montrent dès lors un bon pouvoir descriptif des séries de rendements. Les évidences empiriques qui montrent que la volatilité sur les marchés financiers dépend de façon importante du passé ont mené à la naissance de ces modèles. Ils tiennent compte d'une relation non linéaire de la volatilité conditionnelle par rapport à ses valeurs passées. Les travaux de Nelson (1990) ont permis d'établir le lien entre les résultats économétrique en temps discret et leur convergence vers les modèles à volatilité stochastique en temps continu. Ce type de modèles va apparaître réellement en 1987, où la modélisation de la volatilité stochastique va faire l'objet de plusieurs publications par Hull & White, Wiggins, Scott et Johnson & Shanno. Ces modèles supposent un processus de diffusion sur la volatilité et évaluent, dans ce cadre stochastique, le prix d'une option européenne. Depuis, ce thème a fait l'objet de nombreux travaux, dus essentiellement aux raisons suivantes :
Les modèles à volatilité stochastique permettent de décrire, avec plus de précision que le modèle normal, la distribution réelle des rendements. Cette distribution est décrite dès 1965 par Fama comme plus leptokurtique que la distribution normale avec un effet d'asymétrie.
Ces modèles permettent d'expliquer les biais liés au modèle de Black & Scholes. Ces biais font l'objet de plusieurs études empiriques dont on peut voir une revue dans Galai 1983 et Hull en 1990. Ces biais concernent les options loin hors de la monnaie ou loin dans la monnaie qui sont mal évaluées par rapport aux options à la monnaie. Ce biais peut être lié au prix d'exercice ou à la maturité (comme on le verra dans la première partie) et les études effectuées donnent des résultats contradictoires quant au sens de ces biais (cf. Rubinstein 1985). Ces modèles ont une certaine applicabilité dans le domaine de la gestion de portefeuille à travers des stratégies telles que la stratégie delta / sigma mise en évidence par Hull & White. Renaut & Touzi, en 1992, montrent qu'une stratégie mixte, utilisant les ratios de couverture du modèle de Black & Scholes, calculés pour un niveau de volatilité implicite qui les égalise avec le delta du modèle de Hull & White, permet une meilleure couverture des options hors la monnaie. Nous ne traiterons pas de l'utilisation de ces modèles à des fins de couverture dans
ce mémoire (en effet cela pourrait faire l'objet d'une thèse !). Ces modèles se distinguent par la spécification de volatilité supposée par chaque auteur. Elle peut être de type géométrique ( Hull & White, Wiggins, Johnson & Shanno 1987...) ou de type arithmétique ( Scott 1989, Stein 1989, Merville & Pieptea 1989..). La dynamique de la volatilité peut aussi être représentée par un processus d'Ornstein-Ulhenbeck (Stein et Stein 1991, Heston 1993). Ces modèles ont, cependant, l'inconvénient de ne pas donner une solution analytique close au problème de l'évaluation d'une option. Un recours à des simulations de type Monte Carlo, ou méthode des différences finies est donc nécessaire pour obtenir le prix de l'option. Plusieurs essais, notamment par Stein & Stein en 1991 avec des séries de Fourier et par Heston en 1993 avec des fonctions caractéristiques, font apparaître des solutions quasi-analytiques.
Un deuxième inconvénient de ces modèles réside dans le fait qu'on ne peut observer la volatilité. En effet, cette dernière possède un grand nombre d'estimateurs différents qui vont du simple écart entre les cours extrêmes de la journée à la volatilité implicite en passant par l'écart type des rendements. Cette difficulté se retrouve dans la recherche du processus réel de la volatilité. Pour ce faire, il faut étudier la volatilité localement, à partir de méthodes de calibrage. Nous verrons dans la partie empirique que l'estimation des paramètres de la volatilité par la méthode du calage, à partir des prix de marchés donne de bons résultats.
Au cours de la première partie, nous étudieront les biais (au rang desquels l'effet «smile» et «la structure par terme de la volatilité», qui sont connues pour être les erreurs de pricing les plus systématiques) introduits par la modélisation de BS et les différentes alternatives proposées pour corriger ces biais. Nous verrons que les modèles à volatilité stochastique, remettant en cause l'hypothèse d'accroissements stationnaires, donnent les meilleurs résultats.
Puis nous passerons à l'étude proprement dite de ces modèles, dans la deuxième partie, en distinguant à l'intérieur de cette classe de modèles deux approches qui vont mener successivement :
• aux modèles à volatilité stochastique en temps discret : Duan a développé un modèle GARCH d'évaluation d'options qui peut se révéler parfaitement adapté aux données disponibles sur les marchés financiers (qui ne l'oublions pas sont des données discrètes).
• aux modèles à volatilité stochastique en temps continu : Johnson et Shanno (1987), Hull et White (1987), Wiggins (1987), Stein-Stein (1991), Heston (1993).
Dans la troisième partie, nous implémenterons le «meilleur» modèle de chaque sous catégorie :
- Le modèle de Duan (c'est le seul dans sa catégorie !)
- Le meilleur des modèles en temps continu, après avoir procédé à une sélection rigoureuse.
Nous montrerons avec nos résultats, que les modèles à volatilité stochastique donnent des prix d'options plus conformes aux observations que le modèle de Black et Scholes (que l'on notera aussi modèle de BS).
N.B : Les options traitées dans ce mémoire sont des options européennes !
[...] d = C 1 + t S2 C + S qS C 2C dt + + q S V 2 V C S dS + C dV V The market price of volatility risk. Respectivement le delta et le vega de l'option Par une position inverse sur l'actif sous-jacent seulement Parce qu'on est en couverture delta neutre, le coefficient de dS est égal à zéro. On trouve que : d r dt = C 1 + t S2 C + S qS C C 2C + q + rS 2 S S V 2 V 2 rC dt + C dV V C ( dt + dX 2 ) V On a obtenu ce résultat en utilisant les équations et On observe que pour chaque unité de risque généré par la volatilité représenté par dX il y'a unités de rendement supplémentaire qui rémunère le risque non couvert représenté par dt . [...]
[...] Malheureusement l'existence de cet effet smile n'est pas conforme à la prédiction théorique du modèle de BS qui suggère non seulement une ligne horizontale, mais aussi une structure par terme des volatilités plate Or, tout comme il est possible d'observer un effet smile de la volatilité, le marché laisse apparaître une structure par terme des volatilités. Il s'agit de la dépendance de la volatilité par rapport à la maturité. Dans le cas le plus fréquent où le marché n'est pas soumis à des pressions ou des mouvements extrêmes, on observe que la volatilité implicite des options de maturité courte est inférieure à celle des options de maturité plus longue. La structure par terme des volatilités implicites est alors croissante. [...]
[...] Cela permet donc une application pratique des recherches de Duan. CHAPITRE 2 : Les modèles en temps continu supposant que la volatilité suit un mouvement brownien géométrique Les travaux de Johnson et Shanno (1987), ainsi que ceux de Hull et White (1987), s'inscrivent 30 dans la lignée des quelques articles supposant que la volatilité suit un mouvement brownien géométrique. I ) Le modèle de Johnson et Shanno (1987) Les auteurs posent les hypothèses suivantes pour représenter les dynamiques suivies par l'actif sous-jacent et la volatilité associée : dS t = µ S S t dt + S t dW1 t t d t =µ t dt + dW2 où S t est le prix de l'actif sous-jacent à l'instant µ S est le terme de tendance historique de St , t la volatilité en t , µ la tendance de la volatilité et la volatilité de la volatilité. [...]
[...] Les faiblesses de l'approche de Duan sont de reposer sur des séries de données historiques pour estimer les paramètres du modèle ainsi que le recours à des simulations de Monte Carlo pour aboutir à une valorisation d'options. L'estimation des paramètres du modèle devient par conséquent dépendante des séries chronologiques utilisées (données journalières. hebdomadaires, etc.) et de la précision avec laquelle ces données ont été recueillies. La volatilité intra day peut par exemple ne pas être prise en compte si les estimations reposent uniquement sur des historiques de fixings ou de cours de clôture. [...]
[...] Le modèle GARCH, permet de remédier à ces difficultés, puisqu'il permet d'estimer les paramètres plus facilement et que la volatilité conditionnelle est une donnée disponible. J-C Duan a développé une modèle d'évaluation d'option dans le contexte de processus GARCH, que nous traiterons, dans le premier chapitre. Duan dans un article de 1994, s'inspirant des résultats de Nelson, a réussi à démontrer l'union entre l'approche par des processus GARCH et l'approche par des processus de diffusion pour évaluer des options avec une volatilité stochastique. [...]
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