Le smile de volatilité

Guillaume L.

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Thèmes abordés

Smile de volatilité, instrument financier, prime, vendeur, acheteur, strike, algorithme de Newton-Raphson

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Une option est un instrument financier donnant le droit et non l'obligation à l'acheteur de faire une transaction portant sur un actif moyennant une prime versée au vendeur. Ce dernier s'engage à répondre à la demande de l'acheteur si ce dernier le désire. Le prix de l'option correspond à la différence entre le prix d'exercice dit « Strike » et le cours de l'actif sous-jacent plus une prime correspondant à la valeur temps (temps restant avant la date d'expiration). On distingue les options d'achat dit « call » qui offre le droit à l'acheteur d'acheter une certaine quantité de l'actif sous-jacent à un prix déterminé « le Strike » et à une date déterminée « la date d'expiration ». L'option de vente dénommée « put » permet à l'acheteur de vendre une certaine quantité d'actifs à un prix et une date déterminée. Le prix d'exercice (« le strike ») sert de référence pour décider l'acheteur. Enfin s'il s'agit d'un call, l'acheteur n'a intérêt à exercer que si le prix du marché à l'échéance est supérieur au prix d'exercice. On dit dans ce cas que l'option est « in the money ». Si le prix du marché est égal au prix d'exercice l'option est « at the money », et enfin « out of the money » s'il lui est inférieur. Une option est un instrument financier dont la première utilité est de se couvrir contre le risque de baisse ou de hausse du cours sous-jacent. Cependant les investisseurs compte tenu du coût élevé de la prime préfèrent se couvrir avec des contrats Futures. Les options sont désormais essentiellement pour spéculer. Les spéculateurs apprécient ce produit car il leur procure un fort effet de levier (coût initial de la prime moins élevé que l'achat du sous-jacent). Ces options se négocient sur les marchés réglementés ou de gré à gré. Les marchés réglementés où sont négociées les options sont des marchés à terme dit marchés d'options négociables. Pour pouvoir être coté et ainsi assurer la liquidité de cet instrument financier les contrats d'options sont standardisés (...)

Sommaire

Introduction

I) Options

A. Définition et caractéristiques
B. Valorisation

II) Volatilité implicite

A. Méthode de calcul : Algorithme de Newton-Raphson

III) Smile de volatilité

A. Modélisation
B. Discussion sur les résultats
C. Existence du Smile de volatilité : les raisons
D. Implications

IV) Lien avec la structure par terme de volatilité : surface de volatilité

Bibliographie
Annexes

Extraits

[...] La relation entre volatilité et maturité est connue sous le nom de structure par terme de la volatilité. Généralement, la structure par termes de la volatilité implicite dépend des anticipations sur l'ampleur des fluctuations futures du marché. Ainsi, quand la volatilité actuelle du marché est faible les investisseurs anticiperont une hausse probable de la volatilité ultérieurement. La volatilité implicite est alors une fonction croissante de la maturité. Inversement si la volatilité actuelle du marché est forte, les investisseurs prévoiront dans le futur un retour relatif au calme. [...]

[...] Etape 1 : On paramètre une valeur grossière de la volatilité implicite. Pour diminuer le nombre d'itérations et donc améliorer la vitesse de convergence, on peut choisir la valeur suivante[16] : Etape 2 : On calcule le développement de Taylor de la formule de Black and Scholes à l'ordre 1 avec comme paramètre initiale : Le terme correspond au Véga, i.e. la sensibilité de la valeur de l'option aux variations de la volatilité. On peut ainsi simplifier l'expression de la formule initiale : Etape 3 : En reprenant le raisonnement de la partie précédente on égalise la prime (noté ) observée sur le marché au membre de droite de l'expression juste au dessus. [...]

[...] La volatilité implicite capte donc cet effet en augmentant artificiellement lorsqu'il s'agit d'un put et alors même qu'il n'y a aucune raison pour que la volatilité d'un actif diffère suivant que l'option soit un call ou un put. On touche ici aux limites du modèle utilisé. En effet il est possible que le Smile de volatilité soit la résultante de la non prise en compte dans le modèle de Black and Scholes d'autres paramètres essentiels pour valoriser une option. Surtout l'observation d'un Smile de volatilité et de sa forme dépend fondamentalement du modèle utilisé. Cependant, malgré ses imperfections, le modèle de Black and Scholes demeure largement utilisé compte tenu de sa facilité d'utilisation. [...]

[...] Cette stratégie porte le nom de Delta-Hedging. A partir de ce raisonnement la formule peut être obtenue par le biais d'équations différentielles ou de modèles probabilistes Formule de Black and Scholes Cette formule permet de valoriser des options européennes (call ou put), le calcul d'autres options et notamment des options américaines nécessite des ajustements sur le modèle initial. Annexe 2 : Algorithme de Newton-Raphson Le Théorème de Newton Raphson permet d'obtenir une approximation du zéro[15] d'une fonction réelle à partir d'un processus itératif. [...]

[...] Le Smile de volatilité permet aussi de faire des comparaisons entre options. En effet une option peut avoir un prix en valeur absolue plus élevé qu'une option moins dans la monnaie mais avoir une valeur plus faible en terme de volatilité implicite. Ainsi faire des comparaisons entre options à partir de la volatilité implicite permet de connaître quelles sont les options qui sont réellement relativement les moins chères. Enfin, la forme que prend le Smile de volatilité peut révéler des informations sur les anticipations du marché. [...]

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